Question

如图1，二次函数y=a(x²-2mx-3m²)（其中a,m为常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B左侧），与y轴交于点C(0,-3)，点D在二次函数图象上，且CD∥AB，连AD；过点A作射线AE交二次函数于点E，使AB平分∠DAE

（1）当a=1时，求点D的坐标；

（2）证明：无论a、m取何值，点E在同一直线上运动；

（3）设该二次函数图象顶点为F，试探究：在x轴上是否存在点P，使以PF、AD、AE为边构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标，如果不存在，请说明理由

Answer 1

解：(1) D(2，－3)

    (2) 作D关于AB对称的点D′必在AE上

    A(－m，0)、B(3m，0)，C(0，－3am²)，D(2m，－3am²)

    ∴D′(2m，3am²)

    ∵抛物线过点C

    ∴－3am²＝－3，am²＝1

    ∴直线AD′的解析式为

    联立，整理得x²－3mx－4m²＝0

    解得x₁＝4m，x₂＝－m（舍去）

    ∴E(4m，5)

    ∴E在y＝5上运动

    (3) F(m，－4)、E(4m，5)、A(－m，0)、D(2m，－3)

    设P(b，0)

    ∴PF²＝(m－b)²＋16，AD²＝9m²＋9，AE²＝25m²＋25

    ∴(m－b)²＋16＋9m²＋9＝25m²＋25，解得b₁＝－3m，b₂＝5m

    ∴P(－3m，0)或(5m，0)