Question

【题目】如图点分别是边长为4cm的等边三角形边动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向运动，它们的速度都是，当到达终点时停止运动，设运动时间为t秒，连接交于点M．

（1）求证：；

（2）点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数；

（3）当为何值时是直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）不变，；（3）当t=秒或t=秒时三角形是直角三角形．

【解析】

（1）利用等边三角形的性质可知AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，结合AP＝BQ即可得证；
（2）由△APC≌△BQA知∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ＝60°；
（3）可用t分别表示出BP和BQ，分∠BPQ＝90°和∠BPQ＝90°两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于t的方程，则可求得t的值．

解：（1）

因为是等边三角形，所以

因为

所以

（2） 不变

因为

所以

因为是外角，

所以，

（3）由题意得：，

当时，因为

所以

当时，

所以当秒或秒时三角形是直角三角形．