Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE，动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．

（1）求点B的坐标和OE的长；

（2）设点Q2为(m，n)，当tan∠EOF时，求点Q2的坐标；

（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．

①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．

②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．

Answer 1

【答案】（1）（8，0），；（2）（6，1）；（3）①，②的长为或.

【解析】

（1）令y＝0，可得B的坐标，利用勾股定理可得BC的长，即可得到OE；

（2）如图，作辅助线，证明△CDN∽△MEN，得CN＝MN＝1，计算EN的长，根据面积法可得OF的长，利用勾股定理得OF的长，由和，可得结论；

（3）①先设s关于t成一次函数关系，设s＝kt＋b，根据当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，得t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，s＝，根据Q3（4，6），Q2（6，1），可得t＝4时，s＝，利用待定系数法可得s关于t的函数表达式；

②分三种情况：

（i）当PQ∥OE时，根据，表示BH的长，根据AB＝12，列方程可得t的值；

（ii）当PQ∥OF时，根据tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，列方程为2t2＝ (7t)，可得t的值．

（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行．

解：（1）令，则，

∴，

∴为.

∵为，

在中，.

又∵为中点，∴.

（2）如图，作于点，则，

∴，

∴，

∴，

∴.

∵，

∴，

由勾股定理得，

∴，

∴.

∵，

∴，

∴为.

（3）①∵动点同时作匀速直线运动，

∴关于成一次函数关系，设，

将和代入得，解得，

∴.

②（ⅰ）当时，（如图），，

作轴于点，则.

∵，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

（ⅱ）当时（如图），过点作于点，过点作于点，由得.

∵,

∴,

∴，

∴.

∵，

∴，

∴，

∴.

（ⅲ）由图形可知不可能与平行.

综上所述，当与的一边平行时，的长为或.