Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值为：2$\sqrt{7}$-2．

Answer 1

分析 由折叠的性质得出BD=B′D，由三角形的三条边的数量关系得AB′＞AD-B′D，即AB′＞AD-BD，推出△DBE沿DE折叠B点落在AD上时，AB′=AD-BD，此时A′B最小，由三角函数求出AC=BC•tan60°=3$\sqrt{3}$，由勾股定理求出AD，即可得出结果．

解答 解：∵△DBE沿DE折叠到△DB′E，
∴BD=B′D，
∵在△AB′D中，AB′＞AD-B′D，
∴AB′＞AD-BD，
∴△DBE沿DE折叠B点落在AD上时，AB′=AD-BD，此时A′B最小，
∵在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，
∴AC=BC•tan60°=3$\sqrt{3}$，
∵BD=2CD，
∴CD=1，BD=2，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴A′B=AD-BD=2$\sqrt{7}$-2．
故答案为：2$\sqrt{7}$-2．

点评 本题考查了折叠的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质，确定B′的位置是解决问题的关键．