Question

【题目】（1）如图1，已知CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分別为E、F，CE与BF相交于点D，且AD平分∠BAC．求证：CE=BF．

（2）如图2，AD是△ABC的角平分线，AE=AC，EF∥BC交AC于F点，求证：EC平分∠DEF．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）先证DE=DF，再证明△BDE≌△CDF，即可得出结论；

（2）根据等腰三角形的三线合一性质得出AD垂直平分CE，根据线段垂直平分线的性质得出CD=CE，得出角相等，再由平行线证出内错角相等，即可得出结论．

（1）证明：∵AD平分∠BAC，CE⊥AB，BF⊥AC，

∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，

在△BDE和△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF（ASA），

∴BD=CD，

∴BD+DF=CD+DE，

∴CE=BF；

（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，AE=AC，

∴AD垂直平分CE，

∴CD=CE，

∴∠DEC=∠DCE，

∵EF∥BC，

∴∠FEC=∠DCE，

∴∠FEC=∠DEC，

∴EC平分∠DEF．