Question

【题目】已知：如图，等边△ABC中，D、E分别在BC、AC边上运动，且始终保持BD=CE，点D、E始终不与等边△ABC的顶点重合．连接AD、BE，AD、BE交于点F．

（1）写出在运动过程中始终全等的三角形，井选择其中一组证明；

（2）运动过程中，∠BFD的度数是否会改变？如果改变，请说明理由；如果不变，求出∠BFD的度数，再说明理由．

（3）直接写出运动过程中，AE、AB、BD三条线段长度之间的等量关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）不变，60°；（3）AE+BD=AB．

【解析】

（1）由等边三角形的性质得出AB=BC=AC，∠ABC=BCA=BAC=60°，由BD=CE，得出CD=AE，由SAS即可证得△ACD≌BAE；由SAS即可证得△ABD≌△BCE；

（2）由△ABD≌△BCE得出∠BAD=∠CBE，由三角形内角和定理得出∠AFB+∠BAD+∠ABF=180°，推出∠AFB+∠CBE+∠ABF=180°，由∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，则∠AFB=120°，即可得出∠BFD=60°不变；

（3）由AB=BC=AC，BD=CE，CD=AE，即可得出结果．

（1）△ACD≌BAE，△ABD≌△BCE；理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠ABC=BCA=BAC=60°，

∵BD=CE，

∴CD=AE，

在△ACD和BAE中，

，

∴△ACD≌BAE（SAS）；

在△ABD和△BCE中，

，

∴△ABD≌△BCE（SAS）；

（2）∠BFD的度数不变；理由如下：

∵△ABD≌△BCE，

∴∠BAD=∠CBE，

∵∠AFB+∠BAD+∠ABF=180°，

∴∠AFB+∠CBE+∠ABF=180°，

∵∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，

∴∠AFB=120°，

∵∠BFD+∠AFB=180°，

∴∠BFD=60°

∴∠BFD的度数不变；

（3）∵AB=BC=AC，BD=CE，CD=AE，

∴AE+BD=AE+CE=AC=AB，

∴AE+BD=AB．