Question

3．如图，矩形ABCD中，AD＞AB，AB=1，点E是AD的中点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，延长BF交CD边于点G，连结EG．
（1）求证：△EFG≌△EDG；
（2）若点G恰是CD边的中点，求AD的长；
（3）若△ABE与△BCG相似，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）由△FBE是由△ABE翻折得到的，利用HL，即可求得Rt△EFG≌Rt△EDG，则可证得DG=FG；
（2）由G是CD的中点，得到DG与CG的值，在Rt△BCG中，利用勾股定理即可求得AD的长；
（3）由平行线与翻折变换的性质，易得：∠ABE=$\frac{1}{2}$∠CGB，又由相似三角形的性质与三角函数的性质，即可求得AD的值．

解答 （1）证明：∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴AE=FE，∠EFB=∠EAB=90°，
∴∠EFG=∠EDG=90°．
∵AE=DE，
∴FE=DE．
∴在Rt△EFG与Rt△EDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=ED}\\{EG=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL）．
∴DG=FG；

（2）解：若G是CD的中点，则DG=CG=$\frac{1}{2}$，
∵在Rt△BCG中，BC=$\sqrt{B{G}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{2}$．

（3）解：由题意AB∥CD，
∴∠ABG=∠CGB．
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴∠ABE=∠FBE=$\frac{1}{2}$∠ABG，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠CGB．
∴若△ABE与△BCG相似，则必有∠ABE=∠CBG=30°．
在Rt△ABE中，AE=ABtan∠ABE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=2AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题考查了翻折变换的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，注意数形结合与方程思想的应用．