Question

8．已知：如图，等腰Rt△ABC中，D为AC上一点，AE∥BC交BD延长线于E，AN⊥BE于N，在BE上截取MB=AN，过M作MF⊥BE交AC延长线于F，求证：CF=BC．

Answer 1

分析 首先证明∠3=∠2，然后可证明△BMH≌△AND，进而可得BH=AD，再由条件AC=BC，可得DC=HC，然后证明△DCB≌△HCF，根据全等三角形的性质可得CB=CF．

解答 证明：∵AE∥BC，
∴∠E=∠3，∠EAD=∠ACB=90°，
∵AN⊥BE，
∴∠1+∠E=90°，∠ANE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠E，
∴∠3=∠2，
在△BMH和△AND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠3}\\{AN=MB}\\{∠AND=∠BMH}\end{array}\right.$，
∴△BMH≌△AND（ASA），
∴BH=AD，
∵AC=BC，
∴DC=HC，
∵AN⊥EB，FM⊥EB，
∴MF∥AN，
∴∠2=∠F，
∴∠3=∠F，
在△DBC和△HCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠F}\\{∠DCB=∠HCF}\\{DC=HC}\end{array}\right.$，
∴△DCB≌△HCF（AAS），
∴CB=CF．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是正确证明DC=HC，再证明出△DCB≌△HCF．