Question

8．等腰三角形的三边长分别为10、10、12，则其内心与外心的距离为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 过点A作AH⊥BC于H，根据角平分线的性质可得BH=CH，AH平分∠BAC，从而得到△ABC的外心O及内心I都在AH上．设△ABC外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，连接IE、BI、OB，如图，在Rt△AHB中运用勾股定理可求出AH，在Rt△OHB中运用勾股定理可求出R，然后运用面积法可求出r，即可解决问题．

解答 解：过点A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，
∴BH=CH，AH平分∠BAC，
∴△ABC的外心O及内心I都在AH上．
设△ABC外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，连接IE、BI、OB，如图，
在Rt△AHB中，
∵AB=10，BH=6，∴AH=8．
在Rt△OHB中，
OH²+BH²=OB²，
则（8-R）²+6²=R²，
解得R=$\frac{25}{4}$，
∴OH=AH-AO=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$．
∵S_△ABH=S_△ABI+S_△BHI，
∴$\frac{1}{2}×6×8$=$\frac{1}{2}$×6r+$\frac{1}{2}$×10r，
解得r=3，
∴IH=3，
∴IO=IH-OH=3-$\frac{7}{4}$=$\frac{5}{4}$．
故答案为$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查了三角形的内心和外心、等腰三角形的性质、圆的切线的性质、勾股定理等知识，在求三角形内切圆半径时巧妙地运用面积法，涉及到垂线段的长通常可考虑使用面积法．