Question

1．平行四边形ABCD中，过B作直线交AC、AD于O、E，交CD的延长线于F，求证：
（1）AE：AD=CD：CF；
（2）OB²=OE：OF；
（3）OA²：OC²=OE：OF．

Answer 1

分析 （1）在?ABCD中，根据AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，AB=CD，于是得到△AOB∽△COF，△AOE∽△BOC，推出AE：BC=AO：OC，AB：CF=AO：OC，等量代换得到AE：AD=CD：CF；
（2）在?ABCD中，根据AB∥CD，AD∥BC，于是得到△AOB∽△COF，△AOE∽△BOC，根据相似三角形的性质得到OE：BO=AO：OC，OB：OF=AO：OC，等量代换得到OB：OF=OE：OB，于是得结论；
（3）由（2）证得OE：BO=AO：OC，OB：OF=AO：OC，两式相乘即可得到结论．

解答 证明：（1）在?ABCD中，∵AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴△AOB∽△COF，△AOE∽△BOC，
∴AE：BC=AO：OC，AB：CF=AO：OC，
∴AE：AD=CD：CF；

（2）在?ABCD中，∵AB∥CD，AD∥BC，
∴△AOB∽△COF，△AOE∽△BOC，
∴OE：BO=AO：OC，OB：OF=AO：OC，
∴OB：OF=OE：OB，
即OB²=OF•OE；

（3）由（2）证得OE：BO=AO：OC，OB：OF=AO：OC，
∴$\frac{OA}{OC}•\frac{OA}{OC}=\frac{OE}{OB}•\frac{OB}{OF}$，
∴OA²：OC²=OE：OF．

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质，证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．