Question

6．如图，四边形ABCD中，CE⊥AB于E，将①AC平分∠BAD；②CB=CD；③∠B+∠ADC=180°；④AB+AD=2AE中的任意两个作为条件，都可得出另两个结论，请你一一探究，并任选一种情形予以证明．

Answer 1

分析 取①③作为条件，可得结论②④；在EA上取点EF=BE，连接CF，根据垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质可证CD=CB；根据线段间的和差关系可得AD+AB=2AE．

解答 解：（1）取①③作为条件，可得结论②④；
如图，在EA上取点EF=BE，连接CF，

∵CE⊥AB，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B，
∵∠AFC+∠CFB=180°，∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠D=∠AFC，
∵AC平分∠BAD，
即∠DAC=∠FAC，
在△ACD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠AFC}\\{∠DAC=∠FAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ACF（AAS），
∴CD=CF，
∴CD=CB，
∴AD=AF，
∴AD+AB=AF+AE+BE=AF+EF+AE=AE+AE=2AE．
（2）取④③作为条件，可得结论①②；
延长AB到M，使得BM=AD，作AN⊥CD交CD的延长线于N，MG⊥CB交CB的延长线于G．

∵AB+AD=2AE，
∴AB+BM=2AE，
∴AE=EM，
∵CE⊥AM，
∴CA=CM，
∴∠CAM=∠M，
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠ADC=∠CBM，
∴∠ADN=∠MBG，
∵AD=BM，∠N=∠G=90°，
∴△ADN≌△MBG，
∴AN=GM，DN=BG，
∵AC=CM，
∴Rt△ACN≌△MCG，
∴∠ACN=∠MCG，CN=CG，
∴CD=CB，
∴△DCA≌△BCM，
∴∠DAC=∠CMB，
∴∠CAM=∠CAD，
∴AC平分∠DAE．

点评 本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形，同时注意线段间的和差关系的运用．