Question

如图，平面直角坐标系中，Rt△OAB的OA边在x轴上，OB边在y轴上，且OA=2，AB=

5

，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得△OCD，已知点E的坐标是（2、2）
（1）求经过D、C、E点的抛物线的解析式；
（2）点M（x、y）是抛物线上任意点，当0＜x＜2时，过M作x轴的垂线交直线AC于N，试探究线段MN是否存在最大值，若存在，求出最大值是多少？并求出此时M点的坐标；
（3）P为直线AC上一动点，连接OP，作PF⊥OP交直线AE于F点，是否存在点P，使△PAF是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOB中，已知OA、AB的长，可由勾股定理求得OB的值，根据旋转的性质知OD=OB、OC=OA，由此可求出D、C的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，根据抛物线和直线AC的解析式，可得M、N纵坐标的表达式，进而可得关于MN的长和x的函数关系式，根据函数的性质即可求得MN的最大值及对应的M点坐标．
（3）首先设出点P的横坐标，根据直线AC的解析式表示出点P的纵坐标，易求得直线OP的解析式，由于PF⊥OP，那么直线OP、PF的斜率的积为-1，再结合点P的坐标可得直线PF的解析式，然后将点F的横坐标代入直线PF的解析式中，即可求得F点的纵坐标（此过程，也可过P作x轴、AE的垂线，由全等三角形来求得）．进而可得PF²、PA²、AF²的表达式，然后分：①PF=PA、②PF=AF、③PA=AF，三种情况，分别列出三个不同的等量关系式，从而求出符合条件的P点坐标．需要注意的是P点横坐标不能为1和2，因为这两种情况下，不能构成△PAF．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，AB=

5

，OA=2，由勾股定理得：OB=1；
由于△ODC是由△OBA旋转90°所得，
所以OB=OD=1，OA=OC=2，
因此D（-1，0），C（0，2），A（2，0），
∵E（2，2），
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，则有：

c=2 a-b+c=0 4a+2b+c=2

，
解得

a=- 2 3 b= 4 3 c=2

；
∴抛物线的解析式为：y=-

2

3

x²+

4

3

x+2．

（2）∵A（2，0），C（0，2），
∴直线AC：y=-x+2；
∴M（x，-

2

3

x²+

4

3

x+2），N（x，-x+2）；
故MN=-

2

3

x²+

4

3

x+2-（-x+2）=-

2

3

x²+

7

3

x=-

2

3

（x-

7

4

）²+

49

24

，
因此当x=1，即M（

7

4

，

55

24

）时，MN取最大值，且最大值为

49

24

．

（3）由于P在直线AC上，
所以设P（a，-a+2）（a≠1且a≠2），
则直线OP：y=

2-a

a

x；
由于PF⊥OP，可设直线PF：y=

a

a-2

x+h，则有：

a

a-2

×a+h=-a+2，h=-a+2-

a2

a-2

=

-2a2+4a-4

a-2

，
即直线PF：y=

a

a-2

x+

-2a2+4a-4

a-2

；
当x=2时，y=

2a-a2+4a-4

a-2

=-2a+2；
∴P（a，-a+2），F（2，-2a+2），A（2，0），
∴PF²=（a-2）²+a²，PA²=（2-a）²+（a-2）²=2（a-2）²，AF²=（-2a+2）²，
①当PF=PA时，PF²=PA²，则有：
（a-2）²+a²=2（a-2）²，
解得a=1（不合题意，舍去）；
故此种情况不成立；
②当PF=AF时，PF²=AF²，则有：
（a-2）²+a²=（-2a+2）²，
解得a=0，a=2（舍去），
∴P（0，2）；
③当PA=AF时，PA²=AF²，则有：
2（a-2）²=（-2a+2）²，
解得a=±

2

，
∴P（

2

，2-

2

）或P（-

2

，2+

2

）；
综上所述，存在符合条件的P点，且坐标为：P₁（0，2），P₂（

2

，2-

2

），P₃（-

2

，2+

2

）．

点评：此题主要考查了图形的旋转变化、二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用、勾股定理、等腰三角形的构成情况等知识；（3）题中，由于等腰三角形的腰和底不确定，一定要分类讨论，以免漏解．