Question

11．如图，在平面直角坐标系中，过点A（2，0）的直线l与y轴交于点B，tan∠OAB=$\frac{1}{2}$，直线l上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1．
（1）求直线l的解析式；
（2）若反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象经过点P，求m的值及反比例函数的解析式；
（3）若一抛物线过A，P两点，且对称轴为y轴，求此抛物线的顶点坐标．

Answer 1

分析 （1）由OA=2、tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$可得点B坐标（0，1），利用待定系数法求解可得直线l解析式；
（2）由题意得出点P的横坐标为-1，将x=-1代入直线l解析式求得点P坐标，待定系数法求解可得；
（3）根据A、P两点待定系数法求解可得．

解答 解：（1）∵点A（2，0），即OA=2，且tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴OB=1，即点B（0，1），
设直线l的解析式为y=kx+b，
将点A（2，0）、B（0，1）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
则直线l的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1；

（2）∵点P到y轴的距离为1，且点P位于y轴左侧，
∴点P的横坐标为-1，
则当x=-1时，y=-$\frac{1}{2}$×（-1）+1=$\frac{3}{2}$，
∴点P的坐标为（-1，$\frac{3}{2}$），
代入y=$\frac{m}{x}$得：$\frac{3}{2}$=$\frac{m}{-1}$，即m=-$\frac{3}{2}$，
则反比例函数解析式为y=-$\frac{\frac{3}{2}}{x}$=-$\frac{3}{2x}$；

（3）设抛物线解析式为y=ax²+c，
将点P（-1，$\frac{3}{2}$）、A（2，0）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{a+c=\frac{3}{2}}\\{4a+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，其顶点坐标为（0，2）．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式和解直角三角形，熟练掌握待定系数求函数解析式是解题的关键．