Question

（1）如图，A₁，A₂，A₃是抛物线y=

1

4

x²图象上的三点，若A₁，A₂，A₃三点的横坐标从左至右依次为1，2，3．求△A₁A₂A₃的面积．
（2）若将（1）问中的抛物线改为y=

1

4

x²-

1

2

x+2和y=ax²+bx+c（a＞0），其他条件不变，请分别直接写出两种情况下△A₁A₂A₃的面积．
（3）现有一抛物线组：y₁=

1

2

x²-

1

3

x；y₂=

1

6

x²-

1

12

x；y₃=

1

12

x²-

1

25

x；y₄=

1

20

x²-

1

42

x；y₅=

1

30

x²-

1

63

x；…依据变化规律，请你写出抛物线组第n个式子y_n的函数解析式；现在x轴上有三点A（1，0），B（2，0），C（3，0）．经过A，B，C向x轴作垂线，分别交抛物线组y₁，y₂，y₃，…，y_n于A₁，B₁，C₁；A₂，B₂，C₂；A₃，B₃，C₃；…；A_n，B_n，C_n．记S△A1B1C1为S₁，S△A2B2C2为S₂，…，S△AnBnCn为S_n，试求S₁+S₂+S₃+…+S₁₀的值．
（4）在（3）问条件下，当n＞10时有S_n-10+S_n-9+S_n-8+…S_n的值不小于

11

242

，请探求此条件下正整数n是否存在最大值？若存在，请求出此值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线解析式，求出A₁，A₂，A₃三点的坐标，根据图中几何关系把所求三角形的面积，转化为一个大梯形面积减去两个小梯形的面积，从而求出三角形的面积．第二问与第一问解法一样；
（3）由y₁，y₂…y₅的表达式，归纳出y_n的表达式，同时推出面积公式S_n，然后求和．
（4）由（3）的结论，先求和再求n是否存在最大值．

解答：解：（1）∵A₁（1，

1

4

），A₂（2，1），A₃（3，

9

4

），（1分）
∴S_△A1A2A3=S_梯形A1ACA3-S_梯形A1ABA2-S_梯形A2BCA3=

( 1 4 + 9 4 )×2

2

-

( 1 4 +1)×1

2

-

(1+ 9 4 )×1

2

=

1

4

．
（3分）

（2）①S△A1A2A3=

1

4

，（4分）
②S△A1A2A3=α．（5分）

（3）由规律知：yn=

1

n(n+1)

x2-

1

(2n-1)(n+2)

x或写成（yn=

1

n2+n

x2-

1

2n2+3n-2

x），（6分）
由（1）（2）知：S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

110

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

10

-

1

11

=1-

1

11

=

10

11

．（8分）

（4）存在，
由上知：S_n-10+S_n-9+S_n-8+…S_n=

1

(n-10)(n-9)

+

1

(n-9)(n-8)

+

1

(n-8)(n-7)

+…+

1

n(n+1)

=

1

n-10

-

1

n-9

+

1

n-9

-

1

n-8

+

1

n-8

-

1

n-7

+…+

1

n

-

1

n+1

=

1

n-10

-

1

n+1

=

11

n2-9n-10

，（9分）
∵Sn-10+Sn-9+Sn-8+…+Sn≥

11

242

∴

11

n2-9n-10

≥

11

242

，
∵n＞10，
∴n²-9n-10＞0，
∴n²-9n-10≤242，（10分）
解得-12≤n≤21，
又∵n＞10，
∴10＜n≤21，（11分）
∴存在n的最大值，其值为n=21．（12分）

点评：此题是一道规律题，考查抛物线基本性质，巧妙用几何关系，求三角形面积，归纳出规律然后求和，最后一问探究正整数n是否存在最大值，转化为求函数最值问题．