Question

如图，在直线L上依次取三点A、B、C，BC＞AB且BC=a，在直线L的同侧作两个黄金矩形ABDE和BCGF，即AE：AB=FB：BC=（

5

-1）：2，连接EF，EC，FC，则△CEF的面积等于

 

．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：计算题

分析：设AB=b，根据黄金矩形的定义得到AE=

5 -1

2

b，FB=

5 -1

2

a，然后根据S_△CEF=S_梯形ABFE+S_矩形BCGF-

1

2

S_△ACE-

1

2

S_△CFG进行计算．

解答：解：设AB=b，
∵AE：AB=FB：BC=（

5

-1）：2，
∴AE=

5 -1

2

b，FB=

5 -1

2

a，
∴S_△CEF=S_梯形ABFE+S_矩形BCGF-

1

2

S_△ACE-

1

2

S_△CFG
=

1

2

•（

5 -1

2

b+

5 -1

2

a）•b+

5 -1

2

a²-

1

2

5 -1

2

b（a+b）-

1

2

•

5 -1

2

a²
=

5 -1

4

（b²+ab+2a²-ab-b²-a²）
=

5 -1

4

a²．
故答案为

5 -1

4

a²．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．