Question

（1）求证：不论x为何实数，多项式3x²-5x-1的值总大于2x²-4x-7的值；
（2）当m取不小于5的任意实数时，判断三条线段m²-2m-3、m²-4、m²+2m-3能否作为三角形的三条边．

Answer 1

考点：配方法的应用,非负数的性质：偶次方,三角形三边关系

专题：计算题

分析：（1）利用求差法证明：计算3x²-5x-1-（2x²-4x-7）=x²-x+6，配方得到（x-

1

2

）²+

23

4

，然后根据非负数的性质进行证明；
（2）根据三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边，把三条线段中的任意两条相加后与第三条线段比较大小，比较大小的方法与（1）一样，若满足三条线段中的任意两条相加后都大于第三条线段，则可判断三条线段可作为三角形的三条边．

解答：（1）证明：3x²-5x-1-（2x²-4x-7）=x²-x+6
=x²-x+

1

4

-

1

4

+6
=（x-

1

2

）²+

23

4

，
∵（x-

1

2

）²≥0，
∴（x-

1

2

）²+

23

4

＞0，
即3x²-5x-1＞2x²-4x-7；
（2）解：∵m²-2m-3+m²-4-（m²+2m-3）=m²-4m-4=（m-2）²-8，
而m≥5，
∴（m-2）²-8＞0，即m²-2m-3+m²-4＞m²+2m-3；
∵m²-2m-3+m²+2m-3-（m²-4）=m²-2，
而m≥5，
∴m²-2，即m²-2m-3+m²+2m-3＞m²-4；
∵m²-4+m²+2m-3-（m²-2m-3）=m²+4m-4=（m+2）²-8，
而m≥5，
∴（m+2）²-8＞0，即m²-4+m²+2m-3＞m²-2m-3，
∴三条线段m²-2m-3、m²-4、m²+2m-3能作为三角形的三条边．

点评：本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值（二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方）．也考查了非负数的性质和三角形三边的关系．