题目内容
解决一下问题：（1）如图1，在半径为2的⊙O中，∠AOB=60°，则△AOB面积S△AOB=
（2）如图2，在半径为R的⊙O中，弦AB在⊙0上，球：△AOB面积S△AOB的最大值．
（3）如图3，在半径为3的⊙O中，M的坐标为（3，0），点A、B为半圆上两动点（A在B的左边）且弦AB长为3
| 2 |
（4）如图4，四分之一圆O的半径为R，点B为圆弧上的任意一点，矩形ABCD内接于四分之一圆，求：矩形ABCD面积的最大值．
考点：圆的综合题,完全平方公式,垂线段最短,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,勾股定理的逆定理,矩形的判定与性质,垂径定理
专题：综合题
分析：（1）过点O作OH⊥AB于点H，易证△OAB是等边三角形，只需求出AB及OH的值，就可解决问题；
（2）过点B作BG⊥AO，交AO的延长线于点G，如图2，根据垂线段最短可得BG≤BO，从而可求出△AOB面积的最大值；
（3）过点A作AQ⊥BC于点Q，易证四边形ADCQ是矩形，则有DC=AQ，根据垂线段最短可得DC=AQ≤AB．易证△ADM≌△MCB，则有AD=MC，DM=CB，由此可得S四边形ABCD=
DC2，从而可求出四边形ABCD面积的最大值；
（4）连接OB，易得OC2+BC2=OB2=R2，根据完全平方公式（OC-BC）2=OC2+BC2-2OC•BC可得S矩形ABCD=OC•BC=
{R2-（OC-BC）2}，从而可求出矩形ABCD面积的最大值．
（2）过点B作BG⊥AO，交AO的延长线于点G，如图2，根据垂线段最短可得BG≤BO，从而可求出△AOB面积的最大值；
（3）过点A作AQ⊥BC于点Q，易证四边形ADCQ是矩形，则有DC=AQ，根据垂线段最短可得DC=AQ≤AB．易证△ADM≌△MCB，则有AD=MC，DM=CB，由此可得S四边形ABCD=
| 1 |
| 2 |
（4）连接OB，易得OC2+BC2=OB2=R2，根据完全平方公式（OC-BC）2=OC2+BC2-2OC•BC可得S矩形ABCD=OC•BC=
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）过点O作OH⊥AB于点H，如图1，
根据垂径定理可得AH=BH=
AB．
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=2，
∴AH=1，OH=
=
，
∴S△AOB=
AB•OH=
×2×
=
．
故答案为：
；
（2）过点B作BG⊥AO，交AO的延长线于点G，如图2，
则有BG≤BO，
∴S△AOB=
AO•BG≤
AO•BO，即S△AOB≤
R2，
∴当∠AOB=90°时，△AOB的面积取到最大值，为
R2；
（3）过点A作AQ⊥BC于点Q，如图3，
∵AD⊥OE，BC⊥OE，AQ⊥BC，
∴∠ADC=∠DCQ=∠AQC=90°，
∴四边形ADCQ是矩形，
∴DC=AQ，
∵AQ≤AB，AB=3
，
∴DC≤3
．
∵MA=MB=3，AB=3
，
∴MA2+MB2=AB2，
∴∠AMB=90°，
∴∠DMA+∠CMB=90°．
∵∠DAM+∠DMA=90°，
∴∠DAM=∠CMB．
在△ADM和△MCB中，
，
∴△ADM≌△MCB（AAS），
∴AD=MC，DM=CB，
∴AD+BC=MC+DM═DC，
∴S四边形ABCD=
（AD+BC）•DC=
DC2≤
×18=9，
∴当四边形ABCD是矩形时，面积取到最大值，为9；
（4）连接OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OCB=90°，
∴OC2+BC2=OB2=R2，
∴（OC-BC）2=OC2+BC2-2OC•BC=R2-2OC•BC，
∴S矩形ABCD=OC•BC=
{R2-（OC-BC）2}
∴当OC=BC时，矩形ABCD的面积取到最大值，为
R2．
根据垂径定理可得AH=BH=
| 1 |
| 2 |
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=2，
∴AH=1，OH=
| OA2-AH2 |
| 3 |
∴S△AOB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
故答案为：
| 3 |
（2）过点B作BG⊥AO，交AO的延长线于点G，如图2，
则有BG≤BO，
∴S△AOB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴当∠AOB=90°时，△AOB的面积取到最大值，为
| 1 |
| 2 |
（3）过点A作AQ⊥BC于点Q，如图3，
∵AD⊥OE，BC⊥OE，AQ⊥BC，
∴∠ADC=∠DCQ=∠AQC=90°，
∴四边形ADCQ是矩形，
∴DC=AQ，
∵AQ≤AB，AB=3
| 2 |
∴DC≤3
| 2 |
∵MA=MB=3，AB=3
| 2 |
∴MA2+MB2=AB2，
∴∠AMB=90°，
∴∠DMA+∠CMB=90°．
∵∠DAM+∠DMA=90°，
∴∠DAM=∠CMB．
在△ADM和△MCB中，
|
∴△ADM≌△MCB（AAS），
∴AD=MC，DM=CB，
∴AD+BC=MC+DM═DC，
∴S四边形ABCD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴当四边形ABCD是矩形时，面积取到最大值，为9；
（4）连接OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OCB=90°，
∴OC2+BC2=OB2=R2，
∴（OC-BC）2=OC2+BC2-2OC•BC=R2-2OC•BC，
∴S矩形ABCD=OC•BC=
| 1 |
| 2 |
∴当OC=BC时，矩形ABCD的面积取到最大值，为
| 1 |
| 2 |
点评：本题是有关三角形或四边形面积的最大值的问题，涉及到垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、垂线段最短、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、完全平方公式等知识点，涵盖的知识面比较广，是考查基础知识和基本能力的一道好题．
练习册系列答案
七彩题卡口算应用一点通系列答案
相关题目
如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．下列说法中错误的是（ ）
| A、-5和a都是单项式 | ||||
B、x+
| ||||
| C、5a-3的项是5a和-3 | ||||
D、-
|
