Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC=5，cosB=$\frac{4}{5}$，点P为边BC上一动点，过点P作射线PE交射线BA于点D，∠BPD=∠BAC，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P交射线PD于点E，联结CE，设BD=x，CE=y．
（1）当⊙P与AB相切时，求⊙P的半径；
（2）当点D在BA的延长线上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果⊙O与⊙P相交于点C、E，且⊙O经过点B，当OP=$\frac{5}{4}$时，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）作PF⊥BD于F，作AH⊥BC于H，如图，设⊙P的半径为r，根据等腰三角形的性质得BH=CH，再通过解直角三角形得到BH=4，AH=3，则BC=2BH=8，sinB=$\frac{3}{5}$，接着在Rt△BPH中利用正弦的定义得到PF=$\frac{3}{5}$（8-r），然后根据切线的性质得$\frac{3}{5}$（8-r）=r，再解方程求出r即可；
（2）先证明△BDP∽△BCA，利用相似比得到r=8-$\frac{5}{8}$x，作PG⊥CE于G，如图，利用垂径定理得到CG=EG=$\frac{1}{2}$y，再证明FP⊥PG，所以∠GPC=∠B，接着在Rt△PGC中利用正弦定义得到$\frac{1}{2}$y=$\frac{3}{5}$r，则$\frac{1}{2}$y=$\frac{3}{5}$（8-$\frac{5}{8}$x），然后用x表示y，同时写出x的取值范围；
（3）根据三角形外心性质可判定点O为AH和GP的交点，如图，在Rt△OPH中，利用三角函数可计算出PH=1，讨论：当点D在AB上，此时r=5，则8-$\frac{5}{8}$x=5，解方程求出x后计算5-x即可得到AD的长；当点D在AB的延长线上，此时r=3，则8-$\frac{5}{8}$x=3，然后方程求出x后计算x-5即可得到AD的长．

解答 解：（1）作PF⊥BD于F，作AH⊥BC于H，如图，设⊙P的半径为r，
∵AB=AC，
∴BH=CH，
在Rt△ABH中，∵cosB=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴BH=$\frac{4}{5}$×5=4，
∴AH=3，BC=2BH=8，
在Rt△ABH中，sinB=$\frac{3}{5}$
在Rt△BPH中，sinB=$\frac{PF}{PB}$=$\frac{3}{5}$，
∴PF=$\frac{3}{5}$（8-r），
当⊙P与AB相切时，PF=PC，即$\frac{3}{5}$（8-r）=r，解得r=3，
即当⊙P与AB相切时，⊙P的半径为3；

（2）∵∠BPD=∠BAC，∠DBP=∠ABC，
∴△BDP∽△BCA，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{8-r}{5}$=$\frac{x}{8}$，
∴r=8-$\frac{5}{8}$x，
作PG⊥CE于G，如图，则CG=EG=$\frac{1}{2}$y，
∵PE=PC，
∴∠EPG=$\frac{1}{2}$∠EPC，
∵△BDP∽△BCA，
∴∠D=∠C=∠B，
∴PB=PD，
∴∠DPF=$\frac{1}{2}$∠DPB，
∴∠GPF=$\frac{1}{2}$∠DPC+$\frac{1}{2}$∠DPB=90°，
∴FP⊥PG，
∴∠GPC=∠B，
在Rt△PGC中，sinB=$\frac{CG}{PC}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$y=$\frac{3}{5}$r，
∴$\frac{1}{2}$y=$\frac{3}{5}$（8-$\frac{5}{8}$x），
∴y=$\frac{192-15x}{20}$，
当P点在C点时，r=0，即8-$\frac{5}{8}$x=0，解得x=$\frac{64}{5}$，
∴x的取值范围为5＜x＜$\frac{64}{5}$；

（3）∵⊙O与⊙P相交于点C、E，且⊙O经过点B，
∴点O在CE和BC的垂直平分线上，
即点O为AH和GP的交点，如图，
∵∠OPH=∠GPC，
∴cos∠OPH=$\frac{PH}{OP}$=$\frac{4}{5}$，
∴PH=$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{4}$=1，
当点P在BH上，即点D在AB上，此时r=1+4=5，则8-$\frac{5}{8}$x=5，解得x=$\frac{24}{5}$，
∴AD=AB-AD=5-x=5-$\frac{24}{5}$=$\frac{1}{5}$
当点P在CH上，即点D在AB的延长线上，此时r=4-1=3，则8-$\frac{5}{8}$x=3，解得x=8，
∴AD=AD-AB=8-5=3，
综上所述，AD的长为$\frac{1}{5}$或3．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握等腰三角形的性质、垂径定理、三角形外心的性质和切线的性质；会利用三角函数的定义和相似三角形的性质进行几何计算；运用等腰三角形的性质构建直角三角形是解决问题的关键．