题目内容

已知x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，c≠0）的两个实数根，且 $数学公式$ （m≠0，n≠0）．
（1）试求用m和n表示 $数学公式$ 的式子；
（2）是否存在实数m和n，满足 $数学公式$ 使 $数学公式$ 成立？若存在，求出m和n的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意得，x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ①，x₁x₂= $\text{[math]}$ ②．
由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得x₁= $\text{[math]}$ x₂③．
把③代入①，得x₂=- $\text{[math]}$ ．
把③代入②得x²₂= $\text{[math]}$ ．
消去x₂，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（2）若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 成立，
设（m+n）²=6k，mn=5k（k＞0）．
则m+n=± $\text{[math]}$ ，mn=5k．
若m，n存在，应是方程x²± $\text{[math]}$ z+5k=0的根．
∵△=（± $\text{[math]}$ ）²-20k=-14k＜0（k＞0）．
∴m、n不存在．
分析：（1）由一元二次方程的根与系数的关系得到x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ①，x₁x₂= $\text{[math]}$ ②，由已知 $\text{[math]}$ 变形后代入①②，联立方程，消去x，就可得到 $\text{[math]}$ 值．
（2）由于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 成立，设出适当的参数，建立关于以m+n和mn为两根的新的一元二次方程，求得其△的符号后，来判定根的情况后，决定是否存在m，n的值．
点评：解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根；
（4）x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ；
（5）x₁•x₂= $\text{[math]}$ ．