Question

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC＝∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．

(1)求证：AD是⊙O的切线；

(2)如果⊙O的半径是6 cm，EC＝8 cm，求GF的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：连接OC． 　　∵CD是⊙O的切线， 　　∴∠OCD＝90°． 　　∴∠OCA＋∠ACD＝90°． 　　∵OA＝OC， 　　∴∠OCA＝∠OAC． 　　∵∠DAC＝∠ACD， 　　∴∠OAC＋∠CAD＝90°． 　　∴∠OAD＝90°． 　　∴AD是⊙O的切线． 　　(2)连接BG； 　　∵OC＝6 cm，EC＝8 cm， 　　∴在Rt△CEO中，OE＝＝10． 　　∴AE＝OE＋OA＝1． 　　∵AF⊥ED， 　　∴∠AFE＝∠OCE＝90°，∠E＝∠E． 　　∴Rt△AEF∽Rt△OEC． 　　∴＝． 　　即：＝． 　　∴AF＝9.6． 　　∵AB是⊙O的直径， 　　∴∠AGB＝90°． 　　∴∠AGB＝∠AFE． 　　∵∠BAG＝∠EAF， 　　∴Rt△ABG∽Rt△AEF． 　　∴＝． 　　即：＝． 　　∴AG＝7.2． 　　∴GF＝AF－AG＝9.6－7.2＝2.4(cm)．