Question

如图，设半圆的圆心O在直角△ABC的斜边AB上，且与两直角边相切于D、E，若△ABC的面积为S，斜边长为c，则圆的半径为

 

．

Answer 1

分析：连OD，OE，OC，根据切线性质得OD⊥AC，OE⊥BC，设AC=b，BC=a，OD=OE=R，则S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC，即

1

2

bR+

1

2

aR=S，
得到a+b=

2S

R

，再利用勾股定理得到a+b=

c2+4S

，这样就可求得R的值．

解答：解：连OD，OE，OC，如图，
∵D，E为切点，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
设AC=b，BC=a，OD=OE=R，
∵S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC，
∴

1

2

bR+

1

2

aR=S，
∴a+b=

2S

R

，
又∵a²+b²=c²，
∴（a+b）²=c²+2ab，
∴a+b=

c2+4S

，
∴

2S

R

=

c2+4S

，
∴R=

2S

c2+4S

．
故答案为：

2S

c2+4S

．

点评：本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线，过圆心垂直于切线的直线必过切点；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，也考查了三角形的面积公式和勾股定理以及代数式的变形能力．