Question

某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝．其半圆形桥洞的横截面如图所示．已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i=1：3.7，桥下水深=5米．水面宽度CD=24米．设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上．求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长．（参考数据：π≈3，

3

≈1.7，tan15°=

1

2+ 3

）

Answer 1

分析：首先明确从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长应为如图ME+

EF

+FN，连接如图，把实际问题转化为直角三角形问题，由已知求出OD即半径，再由坡度i=1：3.7和tan15°=

1

2+ 3

=1：3.7，得出∠M=∠N=15°，因此能求出ME和FN，所以求出∠EOM=∠FON=90°-15°=75°，则得出

EF

所对的圆心角∠EOF，相继求出弧EF的长，从而求出从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长．

解答：解：连接FO、EO、DO，
已知CD=24m，0P=5m，∴PD=12m，
∴OD²=OP²+PD²=5²+12²=169，
∴OD=13m，则OE=OF=13m，
已知坡度i=1：3.7和tan15°=

1

2+ 3

=1：3.7，
∴∠M=∠N=15°，
∴cot15°=

1

tan15°

=2+

3

，
∵上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，
∴tan∠M=

OE

EM

，
∴ME=FN=

13

tan15°

=13×（2+

3

）=26+13

3

（m），
∠EOM=∠FON=90°-15°=75°，
∴∠EOF=180°-75°-75°=30°，
∴

EF

=

30π×13

180

=

13

6

π（m），
∴ME+

EF

+FN=26+13

3

+

13

6

π+26+13

3

≈102.7（m）．
答：从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长为102.7米．

点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是由已知先求出半圆的半径和∠M和∠N，再由直角三角形求出MF和FN，求出弧EF的长．