Question

9．如图，在矩形ABCD中，AB=1cm，AD=3cm，点Q从A点出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D运动，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，两点同时出发，运动了t秒．
（1）当0＜t＜3，判断四边形BQDP的形状，并说明理由；
（2）求四边形BQDP的面积S与运动时间t的函数关系式；
（3）求当t为何值时，四边形BQDP为菱形．

Answer 1

分析 （1）先判断出AD∥BC，AD=BC=3，再由运动知，AQ=PC=t，即可得出结论；
（2）利用平行四边形的面积公式即可得出结论；
（3）利用勾股定理表示出BQ，再由BQ=BP建立方程求解即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=3，
由运动知，AQ=t，PC=t，
∴AQ=PC，
∴AD-AQ=BC-PC，
∴DQ=BP，
∵AD∥BC，
∴四边形BQDP为平行四边形，

（2）由（1）知，四边形BQDP是平行四边形，
∵PC=t，
∴BP=BC-PC=3-t，
∴S=BP×AB=（3-t）×1=-t+3 
（3）如图，

在Rt△ABQ中，AQ=t，AB=1，
根据勾股定理得，BQ=$\sqrt{A{Q}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+1}$，
由运动知，CP=t，
∴BP=3-t，
∵平行四边形BQDP是菱形，
∴BQ=BP，
∴$\sqrt{{t}^{2}+1}$=3-t，
∴t=$\frac{4}{3}$，
当$t=\frac{4}{3}s$时，四边形BQDP为菱形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解（1）的关键是得出AQ=PC，解（2）的关键是利用平行四边形的面积公式求解，解（3）的关键是表示出BQ，用BQ=BP建立方程求解，是一道中等难度的题目．