Question

18．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO=BD=BC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若半径OB=2，求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=∠OBD=60°，再利用BD=BC得到∠BCD=∠BDC，则根据三角形外角性质可计算出∠BDC=$\frac{1}{2}$∠OBD=30°，所以∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°，于是可根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）作DH⊥AB于H，在Rt△BHD中，利用正弦定义可计算出DH=$\sqrt{3}$，然后根据三角形面积公式求解．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵OB=BD，
而OB=OD，
∴OB=BD=OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠ODB=∠OBD=60°，
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
而∠OBD=∠BCD+∠BDC，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠OBD=30°，
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=60°+30°=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：作DH⊥AB于H，
在Rt△BHD中，∵sin∠HBD=$\frac{DH}{BD}$，
∴DH=2sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DH=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的判定与性质．