Question

【题目】四边形中，，，的顶点在上，交直线于点．

（1）如图1，若，，连接，求的长．

（2）如图2，，当时，求证：是的中点；

（3）如图3，若，对角线，交于点，点关于的对称点为点，连接交于点，连接、、，求的长，请直接写出答案．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）．

【解析】

（1）先证明，求出，，利用Rt中，求出，再利用等腰直角三角形的性质求出DF的长；

（2）在上取点，使，连接，得到为等边三角形，再证明得到，根，求出，故可得到，即可证明；

（3）先利用，得到平行四边形为矩形，设与交点为，根据对称性得到OD垂直平分CC’，根据等积法求出CM，利用勾股定理求出OM，再根据中位线的性质求出AC’，利用平行线证明，得到，再根据AD=8，进而求出AG的长．

（1）∵

∴∠C=180°-∠B=90°，∠FEB+∠EFB=∠FEB+∠DEC=90°，

∴∠EFB=∠DEC

又

∴，

∴

∵

∴，

在Rt中，

∵，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴；

（2）证明：如图2，在上取点，使，连接，则为等边三角形，

∴，

∴．

∵四边形为平行四边形，，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴

∵

∴

∴，，

∴是的中点．

（3）解：由题意得，为线段的垂直平分线，设与交点为

∵，

∴平行四边形为矩形，

∴，，，

∴．

∵点为的中点，点为的中点，

∴，且，

∴，

∴，

∴．