Question

14．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，点C、M是⊙O上的点，∠AMB=60°，过点
C作的切线交PA、PB于E、F，△PEF的外心在PE上．已知PA=3，则AE的长为2$\sqrt{3}$-3．

Answer 1

分析 由切线长定理知：PA=PB，CE=CF，由△PEF的外心在PE上，知该三角形是直角三角形，由∠M=60°，可计算出∠P的度数，利用特殊角间关系，表示出AE、PE、PF、FB，利用EF=AE+BF可得方程，求出AE的长．

解答 解：连接OA、OB．
∵∠AMB=60°，
∴∠AOB=120°
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PA=PB=3，∠OAP=∠OBP=90°，
在四边形PAOB中，∠P=360°-∠PAO-∠AOB-∠OBP=60°
∵△PEF的外心在PE上，
∴△PEF是直角三角形，且∠PFE=90°．
在Rt△PEF中，∵∠P=60°，
∴PE=2PF，EF=$\sqrt{3}$PF．
设AE的长为x，则PE=3-AE=3-x，
则PF=$\frac{1}{2}$（3-x），EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-x），BF=3-PF=$\frac{1}{2}$（3+x）
∵EF是⊙O的切线，
∴EA=EC，FC=FB．
∵EF=EC+FC=AE+BF
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-x）=x+$\frac{1}{2}$（3+x），
∴x=2$\sqrt{3}$-3．

点评 本题考查了外接圆、切线长定理、60°角所在直角三角形的边角关系、圆周角圆心角间关系及二次根式的相关计算，属于综合性较强的题目．表示出各个线段的长，并利用线段的和列出方程是解决本题的关键．