Question

【题目】已知抛物线，，直线．

（1）若该抛物线与轴交点的纵坐标为，求该抛物线的顶点坐标；

（2）证明：该抛物线与直线必有两个交点；

（3）若该抛物线经过点，且对任意实数，不等式都成立；当时，该二次函数的最小值为．求直线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）该抛物线的顶点坐标为；（2）证明见解析；（3）直线l的解析式为y=－x+1或．

【解析】

(1)抛物线与轴交点的纵坐标为，即：，解得：，即可求解；

(2)联立抛物线和直线的表达式得：x2-(k+3m)x-4=0，判断，即可证明；

(3)分、、三种情况，分别求解即可．

(1)依题意可知，

则，

∴该抛物线对应的函数解析式为，

∴该抛物线的顶点坐标为．

(2)证明：将代入，

整理得：，

∵，，，

∴ [-(k+3m)]2-4×(-4)=(k+3m)2+16＞0，

∴该抛物线与直线l必有两个交点；

(3)由抛物线经过点(t，-4)，且对任意实数x，不等式都成立，

得抛物线的最小值为-4．

∵

，

∴，

整理得3m2+2m-5=0，解得：m=1或

∵，

∴，舍去，

当m=1时，抛物线的解析式为，

此时抛物线的对称轴为直线，

①当k＜1时，抛物线在上，函数值y随x的增大而减小，

∴当x=k时，，

∴，

解得：或k=2(舍去)，

直线l的解析式为；

②当时，即，抛物线在上，，

∴，解得，

直线l的解析式为；

③当时，即时，抛物线在上，函数值y随x的增大而增大，

∴当x=k-2时，=(k-2)2-2(k-2)-3，

∴(k-2)2-2(k-2)-3=-2k+1，

解得：k1=k2=2，

与k-2＞1矛盾，不符合题意，

综上，直线l的解析式为y=-x+1或．