Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=3，点P是AC边上的一个动点，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值等于

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：过D作DE⊥AC于E，证△DEP≌△PCB，推出PE=BC=3，DE=CP，设PC=x，则AD²=x²+（2-x）²=2（x-1）²+2，求出即可．

解答：解：
过D作DE⊥AC于E，
∵∠C=∠DPB=90°，
∴∠DEP=∠C=90°，∠EDP+∠DPE=90°，∠DPE+∠BPC=90°，
∴∠EDP=∠BPC，
在△DEP和△PCB中，

∠EDP=∠BPC ∠DEP=∠C DP=PB

，
∴△DEP≌△PCB（AAS），
∴PE=BC=3，DE=CP，
设PC=x，则AD²=x²+（2-x）²=2（x-1）²+2，
∴AD²的最小值是2，
∴AD的最小值是

2

，
故答案为：

2

．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，二次函数的最值，勾股定理的应用，关键是得出二次函数的解析式．