Question

如图，AB=2，BC=5，AB⊥BC与B，l⊥BC于C，点P自点B开始沿射线BC移动，过点P作PQ⊥PA交直线l于点Q．
（1）求证：∠A=∠QPC；
（2）当点P运动到何处时，PA=PQ？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形的两内角互余以及∠A+∠APB=90°，根据同角的余角相等，即可证得；
（2）P运动到离C处距离为2时，PA=PQ，此时易证△ABP≌△PCQ，即可证得．

解答：解：（1）证明：∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC=90°，
∵AB⊥BC与B
∴∠A+∠APB=90°，
∴∠A=∠QPC；


（2）当P运动到离C处距离为2时，PA=PQ，
证明：当PC=2时，PC=AB，
在△ABP与△PCQ中，
∵

∠ABC=∠PCQ PC=AB ∠A=∠QPC

，
∴△ABP≌△PCQ（ASA），
∴PA=PQ；
同理，BP=7时，PC=2也符合，
所以，点P运动到与点C距离为2时，PA=PQ．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及余角的性质：同角的余角相等，正确证明∠A=∠QPC是关键．