Question

在平面直角坐标系xOy中，设点，是图形W上的任意两点．

定义图形W的测度面积：若的最大值为m，的最大值为n，则 为图形W的测度面积．

例如，若图形W是半径为1的⊙O．当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1， 取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积．

（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．

①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= ；

②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= ；

（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD，则此图形测度面积S的最大值为 ；

（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．

Answer 1

（1）①1；②1；（2）2；（3）．

【解析】

试题分析：（1）①根据给出的定义可以求出来；

②根据给出的定义可以求出来；

（2）根据定义可以求出测度面积的最大值为2；

（3）因为平移图形W不会改变其测度面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上，注意分三种情况讨论，

试题解析：（1）① 1；

② 1．

（2） 2．

（3）不妨设矩形ABCD的边AB=4，BC=3．由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上．

当顶点A，B或B，C都在x轴上时，如图5和图6，矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S取得最小值，且最小值为12．

当顶点A，C都不在x轴上时，如图7．

过A作直线AE⊥x轴于点E，过C作直线CF⊥x轴于点F，过D作直线GH∥x轴，与直线AE，CF分别交于点H和点G，则可得四边形EFGH是矩形．

当点P，Q分别与点A，C重合时，取得最大值，且最大值；

当点P，Q分别与点B，D重合时，取得最大值，且最大值．

∴图形W的测度面积．

∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°，∵∠AEB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF．

又∵，∴△ABE∽△BCF，∴．

设，则，

在Rt△ABE中，由勾股定理得．

∴．即．∵，∴，易证△ABE≌△CDG．∴．∴，．

∴

∴当，即时，测度面积S取得最大值．

∵，∴．∴．

∴当顶点A，C都不在x轴上时，S的范围为．

综上所述，测度面积S的取值范围是．

考点：1．新定义；2．勾股定理．