Question

4．问题背景：在正方形ABCD的外侧，作△ADE和△DCF，连结AF、BE．
特例探究：如图①，若△ADE与△DCF均为等边三角形，试判断线段AF与BE的数量关系和位置关系，并说明理由；
拓展应用：如图②，在△ADE与△DCF中，AE=DF，ED=FC，且BE=4，则四边形ABFE的面积为8．

Answer 1

分析 特例探究：易证△ADE≌△DCF，即可证明AF与BE的数量关系是：AF=BE，位置关系是：AF⊥BE；
拓展应用：首先证得△ADE≌△CDF，由全等三角形的性质可得∠DAE=∠CDF，易得△BAE≌△ADF，可得AE=AF，同特例探究可得AF⊥BE，易得四边形ABFE的面积为：$\frac{1}{2}•AF•BE$．

解答 解：特例探究：AF=BE，AF⊥BE．
∵四边形ABCD为正方形，△ADE与△DCF均为等边三角形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC，AE=AD=CD=DF，∠DAE=∠CDF，
∴∠BAD+∠DAE=∠ADC+∠CDF，即∠BAE=∠ADF，
在△ABE与△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴AF⊥BE；

拓展应用：在△ADE与△CDF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{AE=DF}\\{CF=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SSS），
∴∠DAE=∠CDF，∠ADF=∠ADC+∠CDF=90°+∠CDF，∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+∠EAD，
∴∠ADF=∠BAE，
在△ABE与△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴AF⊥BE，
∴S_{四边形ABFE}=$\frac{1}{2}•AF•BE=\frac{1}{2}×4×4$=8，
故答案为：8．

点评 本题主要考查了正方形的性质和等边三角形的性质，证得AF=BE，AF⊥BE是解答此题的关键．