Question

5．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案．

Answer 1

分析 （1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；
（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．

解答 解：（1）当1≤x＜50时，y=（200-2x）（x+40-30）=-2x²+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y=（200-2x）（90-30）=-120x+12000；

（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y_最大=-2×45²+180×45+2000=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y_最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；

（3）当1≤x＜50时，y=-2x²+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，
因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；
当50≤x≤90时，y=-120x+12000≥4800，解得x≤60，
因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，
所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．

点评 本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．