Question

如图，已知DE⊥AB垂足为E，DF⊥AC垂足为F，BD=CD，BE=CF．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）丁丁同学观察图形后得出结论：AB+AC=2AE，请你帮他写出证明过程．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

【分析】（1）根据HL定理求出Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形的性质得出DE=DF，根据角平分线性质得出即可；

（2）证Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等得出AE=AF，即可求出答案．

【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠E=∠DFC=90°，

在Rt△BED和Rt△CFD中，

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴DE=DF，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠EAD=∠CAD，

∴AD平分∠BAC；

（2）∵∠E=∠AFD=90°，

在Rt△AED和Rt△AFD中

，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴AE=AF，

∵BE=CF，

∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE﹣CF+AE+CF=2AE．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，能正确根据全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．