Question

19．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．
（1）求证：∠BAD=∠BDC；
（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）

Answer 1

分析 （1）连接OD，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可；
（2）根据三角函数进行计算即可．

解答 证明：（1）连接OD，如图，

∵CD与半圆O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，
∴∠CDB=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠BAD，
∴∠BAD=∠BDC；
（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}$，
∴AB=$\frac{BD}{sin∠BAD}=\frac{2}{sin28°}≈4.260$，
∴⊙O的半径为$\frac{AB}{2}=2.13$．

点评 此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行分析．