在△ABC中.AB=AC.∠A=60°.点D是线段BC的中点.∠EDF=120°.DE与线段AB相交于点E.DF与线段AC相交于点F．(1)如图1.若DF⊥AC.垂足为F.AB=4.求BE的长,中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度.DF仍与线段AC相交于点F．求证:BE+CF=$\frac{1}{2}$AB．(3)如图3.若∠EDF的两边分别交AB.AC的延长线于E.F两点.(2)中的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．

（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=$\frac{1}{2}$AB．
（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．

分析（1）如图1中，只要证明∠BED=90°，根据直角三角形30度角性质即可解决问题．
（2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．只要证明△BDM≌△CDN，△EDM≌△FDN即可解决问题．
（3）（2）中的结论不成立．结论：BE-CF=$\frac{1}{2}$AB，证明方法类似（2）．

解答解：（1）如图1中，

∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4，
∵点D是线段BC的中点，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵DF⊥AC，即∠CFD=90°，
∴∠CDF=30°，
又∵∠EDF=120°，
∴∠EDB=30°，
∴∠BED=90°
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=1．

（2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．

∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，
∴△BDM≌△CDN，
∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，
∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，
∴△EDM≌△FDN，
∴ME=NF，
∴BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD=$\frac{1}{2}$AB．

（3）结论不成立．结论：BE-CF=$\frac{1}{2}$AB．

∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，
∴△BDM≌△CDN，
∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，
∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，
∴△EDM≌△FDN，
∴ME=NF，
∴BE-CF=BM+EM-（FN-CN）=2BM=BD=$\frac{1}{2}$AB．