Question

11．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，若tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2，点D的坐标为（6，m）．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求△OCD的面积．

Answer 1

分析 （1）在直角△BCE中，BE=6，利用三角函数即可求得CE的长，则C的坐标即可求解，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）在直角△ABO中，利用三角函数即可求得OA的长，则A，B的坐标已知，利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）首先求得D的坐标，根据S_△COD=S_△OAC+S_△OAD即可求解．

解答 解：（1）∵在直角△BCE中，tan∠ABO=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，BE=OE+OB=4+2=6，
∴EC=BE•tan∠ABO=6×$\frac{1}{2}$=3．
∴C的坐标是（-2，3）．
设反比例函数的解析式是y=$\frac{k}{x}$．
把C的坐标代入得：3=$\frac{k}{-2}$，
解得：k=-6，
则反比例函数的解析式是：y=-$\frac{6}{x}$；

（2）B的坐标是（4，0）．
∵在直角△AOB中，tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OA=OB•tan∠ABO=4×$\frac{1}{2}$=2，
则A的坐标是（0，2），
设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{k=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
则直线AB的解析式是：y=-$\frac{1}{2}$x+2；

（3）解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{6}{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
则D的坐标是：（6，-1）．
∵OA=2
∴S_△COD=S_△OAC+S_△OAD=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×6=2+6=8．

点评 本题主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式，以及三角函数的定义，正确利用三角函数的定义求得C的坐标是关键．