Question

长沙市某商业公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量 m（件）与时间t（天）的关系如下表：

时间t（天）	1	3	10	20	21	22	40
日销售量 m（件）	98	94	80	60	61	62	80

未来40天内，该商品每天的价格y（元∕件）与时间t（天）的函数关系式为：
y=

1 4 t+25        (1≤t≤20，t为整数) - 1 2 t+40      (21≤t≤40，t为整数)

根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数的知识分别确定1≤t≤20，21≤t≤40时，满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）分别利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）根据t的取值范围分两段根据利润=单件的利润×销售量，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）整理得到捐赠后的利润表达式，再根据二次函数的增减性从对称轴考虑列出不等式，然后求解即可．

解答：解：（1）当1≤t≤20（t为整数）时，将

t=1 m=98

和

t=3 m=94

代入一次函数m=kt+b中，有

k+b=98 3k+b=94

，
解得

k=-2 b=100

，
所以m=-2t+100；
当21≤t≤40（t为整数）时，将

t=21 m=61

和

t=40 m=80

代入一次函数m=kt+b中，有

21k+b=61 40k+b=80

，
解得

k=1 b=40

，
所以m=t+40，
综上可得：m=

-2t+100(1≤t≤20) t+40(21≤t≤40)

；

（2）设前20天日销售利润为P₁元，后20天的日销售利润为P₂元，
当1≤t≤20（t为整数）时，P₁=（-2t+100）（

1

4

t+25-20）=-

1

2

t²+15t+500，
=-

1

2

（t-15）²+612.5，
所以，t=15时，P₁有最大值612.5元；
当21≤t≤40（t为整数）时，P₂=（t+40）（-

1

2

t+40-20），
=-

1

2

t²+800，
所以，t=21时，P₂有最大值-

1

2

×21²+800=579.5元，
综上可得：当t=15时，利润最大，为612.5元；

（3）当1≤t≤20（t为整数）时，
P₁=（-2t+100）（

1

4

t+25-20-a）=-

1

2

t²+（15+2a）t+500-100a，
对称轴为：t=

-(15+2a)

2×(- 1 2 )

=15+2a，
∵前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，
∴15+2a≥20，
解得a≥2.5，
所以，a的最小值是2.5．

点评：本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，利用二次函数的增减性求二次函数的最值问题，理清题目数量关系列出利润表达式是解题的关键．