Question

已知如图，以矩形OBCD的边OB，OD为x轴、y轴建立平面直角坐标系，对角线BD、OC相交于点M，OB=4

3

，∠BOC=30°，点P是线段OB上的一个动点，过P作x轴的垂线，分别交OC、BD于点E、F．
（1）求直线BD的解析式；
（2）若点P以每秒

3

个单位的速度从点O向点B匀速运动，到达B点后停止运动，设△OEF与△BEF的面积之和为y，点P的运动时间为t秒，求y与t的函数关系式；
（3）若点Q是直线BD上的一个动点，请直接写出△OBQ为等腰三角形点Q的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）先通过解直角三角形求得OD，进而求得D的坐标，然后用待定系数法即可求得；
（2）通过三角形OBF的面积减去三角形OBE的面积求得；
（3）分两种情况分别讨论求得；

解答：解：（1）∵四边形OBCD是矩形，∠BOC=30°，
∴∠OBD=30°，
∴直线BD的斜率为-

3

3

，
∵OB=4

3

，
∴OD=tan∠OBD•OB=4，
∴OD=OC=4，
∴B（4

3

，0），C（4

3

，4），D（0，4），
∴直线BD的解析式为y=-

3

3

x+4，

（2）∵∠BOC=30°，
∴直线OC的斜率为

3

3

，
∴直线OC的解析式为y=

3

3

x，
设E（

3

t，t），F（

3

t，-t+4），则PE=t，PF=-t+4，
∴y=

1

2

OB•PF-

1

2

OB•PE=

1

2

×4

3

×（-t+4）-

1

2

×4

3

×t=-4

3

t+8

3

，
即y=-4

3

t+8

3

；

（3）设Q（m，-

3

3

m+4），
当OB=BQ时，
∵B（4

3

，0），
∴BQ²=（4

3

-m）²+（-

3

3

m+4）²，
∴（4

3

）²=（4

3

-m）²+（-

3

3

m+4）²，解得：m=4

3

-6，m=4

3

+6（舍去），
当OQ=BQ时，
∵OQ²=m²+（-

3

3

m+4）²，
∴m²+（-

3

3

m+4）²=（4

3

-m）²+（-

3

3

m+4）²，解得：m=2

3

；
所以△OBQ为等腰三角形时点Q的坐标为（4

3

-6，2

3

）或（2

3

，2）；

点评：本题是一次函数的综合图，应用的知识点：待定系数法，解直角三角形，等腰三角形的判定，三角形的面积以及分类讨论思想的运用等；