Question

14．如图，正六边形ABCDEF，连结AC，求作点P，Q使它们成为AC的三等分点，下列作法正确的是（　　）
①取AB，BC的中点M，N，再分别以A，C为圆心，以AM，CN的长为半径画弧，交AC于点P，Q
②连结 BF，BD，分别交AC于点P，Q
③连结BE交AC于点H，分别取AH，CH的中点P，Q
④作AB，BC的中垂线分别交AC于点P，Q．

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 如图1，连结 BF，BD，分别交AC于点P，Q，根据等腰三角形的性质得到∠BCP=∠CBP=30°，∠ABQ=∠BAQ=30°，求得PB=PC，QB=QA，∠BPQ=∠BQP=60°，于是得到结论如图2，根据线段垂直平分线的性质得到PB=PC，QB=QA，根据三角形的外角的性质得到∠BPQ=∠BQP=60°，得到PB=BQ=PQ，等量代换得到结论．

解答 解：如图1，连结 BF，BD，分别交AC于点P，Q，
∴∠BCP=∠CBP=30°，∠ABQ=∠BAQ=30°，
∴PB=PC，QB=QA，∠BPQ=∠BQP=60°，
∴PB=BQ，
∴CP=PQ=AQ，
∴②正确；

如图2，∵作AB，BC的中垂线分别交AC于点P，Q．
∴PB=PC，QB=QA，
∴∠BCP=∠CBP=∠BAQ=∠ABQ=30°，
∴∠BPQ=∠BQP=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PB=BQ=PQ，
∴CP=PQ=QA，
∴④正确．
故选C．

点评 本题考查了作图-复杂作图，正多边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．