Question

15．如图，菱形ABCD的周长为32cm，对角线交于点O，OB=4cm，求菱形ABCD的各内角的度数及面积．

Answer 1

分析 根据菱形的性质得AB=8，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，在Rt△AOB中，利用三角函数计算出∠OAB=30°，则∠ABO=60°，OA=$\sqrt{3}$OB=4$\sqrt{3}$，再根据菱形的性质得∠DAB=2∠OAB=60°，∠ABC=2∠OBA=120°，然后计算菱形的面积．

解答 解：∵四边ABCD为菱形，
∴AB=8，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
在Rt△AOB中，∵sin∠OAB=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OAB=30°，
∴∠ABO=60°，OA=$\sqrt{3}$OB=4$\sqrt{3}$，
∴∠DAB=2∠OAB=60°，∠ABC=2∠OBA=120°，
菱形的面积=4S_△OAB=4×$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=32$\sqrt{3}$（cm²）．
答：菱形ABCD的各内角的度数分别60°、120°、60°、120°；菱形的面积为32$\sqrt{3}$cm²．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．