Question

16．如图，△ABC的内切圆在AB、AC边上的切点分别为F、E，∠C的平分线交直线EF于G，求证：BG⊥CG．

Answer 1

分析 如图，设AB与CG交于点K，内切圆的圆心为O，连接OA、OF、OB，想办法证明∠4=∠5，推出△GKF∽△BKO，推出$\frac{GK}{BK}$=$\frac{FK}{KO}$，即$\frac{GK}{FK}$=$\frac{BK}{KO}$，又∠BKG=∠OKF，推出△BKG∽△OKF，即可解决问题．

解答 证明：如图，设AB与CG交于点K，内切圆的圆心为O，连接OA、OF、OB．

∵O是内心，
∴2∠1+2∠2+2∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=90°，
∵E、F是切点，
∴∠AFO=∠OFK=90°，AO⊥EF，
∴∠3+∠AOF=90°，
∴∠AOF=∠1+∠2，
∵∠3+∠AFE=90°，∠3+∠AOF=90°，
∴∠4=∠AFE=∠AOF=∠1+∠2，
∵∠5=∠1+∠2，
∴∠4=∠5，
∵∠GKF=∠BKO，
∴△GKF∽△BKO，
∴$\frac{GK}{BK}$=$\frac{FK}{KO}$，
∴$\frac{GK}{FK}$=$\frac{BK}{KO}$，
∵∠BKG=∠OKF，
∴△BKG∽△OKF，
∴∠BGK=∠KFO=90°，
∴CG⊥BG．

点评 本题考查三角形内切圆与内心、相似三角形的判定和性质、切线长定理、切线的性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．