Question

4．如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）、点B（3，0），交y轴于点C（0，-3），点M为线段BC上一动点，过点M作x轴的垂线，交x轴于点E，交抛物线于点F
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求MF的最大值及此时M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）首先求得BC的解析式，则设M的横坐标是x，从而利用x表示出MF的长，利用二次函数的性质求解．

解答 解：（1）设函数的解析式是y=ax²+bx+c．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
则函数的解析式是y=x²-2x-3；
（2）设直线BC的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
则直线BC的解析式是y=x-3．
设M的横坐标是x，则M的纵坐标是x-3，F的纵坐标是x2-2x-3，
则MF=（x-3）-（x²-2x-3）=-x²+2x=-（x-1）²+1．
则当x=1是MF取得最大值是1，此时M的坐标是（1，-2）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质的应用，利用x表示出MF的长是关键．