Question

如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，求DM：MC的值．

Answer 1

分析：由旋转可以得出△BEC≌△DFC，∠ECF=90°，就有EC=CF=3，DD=BC=5，∠BEC=∠DFC=90°，由勾股定理就可以求出CD的值，进而得出CE∥DF，就有△CEM∽△DFM，就可以求出CM，DM的值，从而得出结论．

解答：解：∵BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，
∴△BEC≌△DFC，∠ECF=90°，
∴EC=CF=3，DF=BC=5，∠BEC=∠DFC=90°．
在Rt△DFC中，由勾股定理，得
DF=4．
∵∠DFC=90°，
∴∠DFC+∠ECF=180°，
∴EC∥DF，
∴△CEM∽△DFM，
∴

EC

DF

=

CM

DM

，
∴

3

4

=

CM

DM

即DM：MC=

4

3

．

点评：本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，平行线的判定及性质的运用，解答时证明三角形相似是关键．