Question

19．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．求证：PQ=$\frac{1}{2}$BP．

Answer 1

分析 根据全等三角形的判定方法SAS可证得△BEC≌△ADB，根据各角的关系及三角形内角、外角和定理可证得∠BPQ=60°，即可得结论．

解答 证明：∵△ABC为等边三角形．
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CD}&{\;}\\{∠BAC=∠ACB}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BP．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，涉及到等边三角形、直角三角形、三角形内角及外角和定理等知识点，证明三角形全等是解决问题的关键．