Question

如图，直线l₁⊥x轴于点（1，0），直线l₂⊥x轴于点（2，0），直线l₃⊥x轴于点（3，0），…直线l_n⊥x轴于点（n，0）．函数y=

1

2

x的图象与直线l₁，l₂，l₃，…l_n分别交于点A₁，A₂，A₃，…A_n；函数y=2x的图象与直线l₁，l₂，l₃，…l_n分别交于点B₁，B₂，B₃，…B_n．如果△OA₁B₁的面积记作S₁，四边形A₁A₂B₂B₁的面积记作S₂，四边形A₂A₃B₃B₂的面积记作S₃，…四边形A_n-1A_nB_nB_n-1的面积记作S_n，那么S₂₀₁₂=（　　）

A．3015

B．3015.75

C．3017.25

D．3017

Answer 1

分析：先求出A₁，A₂，A₃，…A_n和点B₁，B₂，B₃，…B_n的坐标，利用三角形的面积公式计算△OA₁B₁的面积；四边形A₁A₂B₂B₁的面积，四边形A₂A₃B₃B₂的面积，…四边形A_n-1A_nB_nB_n-1的面积，则通过两个三角形的面积差计算，这样得到S_n=

3

2

n-

3

4

n，然后把n=2012代入即可求得答案．

解答：解：∵函数y=

1

2

x的图象与直线l₁，l₂，l₃，…l_n分别交于点A₁，A₂，A₃，…A_n，
∴A₁（1，

1

2

），A₂（2，1），A₃（3，

3

2

）…A_n（n，

1

2

n），
又∵函数y=2x的图象与直线l₁，l₂，l₃，…l_n分别交于点B₁，B₂，B₃，…B_n，
∴B₁（1，2），B₂（2，4），B₃（3，6），…B_n（n，2n），
∴S₁=

1

2

•1•（2-

1

2

），
S₂=

1

2

•2•（4-1）-

1

2

•1•（2-

1

2

），
S₃=

1

2

•3•（6-

3

2

）-

1

2

•2•（4-1），
…
S_n=

1

2

•n•（2n-

1

2

n）-

1

2

•（n-1）[2（n-1）-

1

2

（n-1）]=

3

2

n-

3

4

．
当n=2012，S₂₀₁₂=2012×

3

2

-

3

4

=3017.25．
故选C

点评：此题考查了一次函数的性质、三角形的面积以及整数的混合运算等知识．此题难度较大，属于规律性题目，注意数形结合思想的应用，注意得到规律：S_n=

3

2

n-

3

4

n是解此题的关键．