Question

（2012•张家口一模）如图，直线l₁⊥x轴于点（1，0），直线l₂⊥x轴于点（2，0），直线l₃⊥x轴于点（3，0），…直线l_n⊥x轴于点（n，0）．函数y=x的图象与直线l₁，l₂，l₃，…l_n分别交于点A₁，A₂，A₃，…A_n；函数y=2x的图象与直线l₁，l₂，l₃，…l_n分别交于点B₁，B₂，B₃，…B_n．如果△OA₁B₁的面积记作S₁，四边形A₁A₂B₂B₁的面积记作S₂，四边形A₂A₃B₃B₂的面积记作S₃，…四边形A_n-1A_nB_nB_n-1的面积记作S_n，那么S₂₀₁₂=

2011.5

．

Answer 1

分析：先求出A₁，A₂，A₃，…A_n和点B₁，B₂，B₃，…B_n的坐标，利用三角形的面积公式计算△OA₁B₁的面积；四边形A₁A₂B₂B₁的面积，四边形A₂A₃B₃B₂的面积，…四边形A_n-1A_nB_nB_n-1的面积，则通过两个三角形的面积差计算，这样得到S_n=n-

1

2

，然后把n=2012代入即可求得答案．

解答：解：∵函数y=x的图象与直线l₁，l₂，l₃，…l_n分别交于点A₁，A₂，A₃，…A_n，
∴A₁（1，1），A₂（2，2），A₃（3，3）…A_n（n，n），
又∵函数y=2x的图象与直线l₁，l₂，l₃，…l_n分别交于点B₁，B₂，B₃，…B_n，
∴B₁（1，2），B₂（2，4），B₃（3，6），…B_n（n，2n），
∴S₁=

1

2

•1•（2-1），
S₂=

1

2

•2•（4-2）-

1

2

•1•（2-1），
S₃=

1

2

•3•（6-3）-

1

2

•2•（4-2），
…
S_n=

1

2

•n•（2n-n）-

1

2

•（n-1）[2（n-1）-（n-1）]=

1

2

n²-

1

2

（n-1）²=n-

1

2

．
当n=2012，S₂₀₁₂=2012-

1

2

=2011.5．
故答案为：2011.5．

点评：此题考查了一次函数的性质、三角形的面积以及整数的混合运算等知识．此题难度较大，属于规律性题目，注意数形结合思想的应用，注意得到规律：S_n=n-

1

2

是解此题的关键．