题目内容

（2013•义乌市）如图，直线l1⊥x轴于点A（2，0），点B是直线l1上的动点．直线l2：y=x+1交l1于点C，过点B作直线l3垂直于l2，垂足为D，过点O，B的直线l4交l2于点E，当直线l1，l2，l3能围成三角形时，设该三角形面积为S1，当直线l2，l3，l4能围成三角形时，设该三角形面积为S2．
（1）若点B在线段AC上，且S1=S2，则B点坐标为
（2，0）
（2，0）
；
（2）若点B在直线l1上，且S2=
3
S1，则∠BOA的度数为
15°或75°
15°或75°
．
分析：（1）设B的坐标是（2，m），则△BCD是等腰直角三角形，即可表示出S1，求得直线l1的解析式，解方程组即可求得E的坐标，则S2的值即可求得，根据S1=S2，即可得到一个关于m的方程从而求得m的值；
（2）根据S2=
3
S1，即可得到一个关于m的方程从而求得m的值，得到AB的长，从而求得∠BOA的正切值，求得角的度数．
解答：解：（1）设B的坐标是（2，m），则△BCD是等腰直角三角形．
BC=|3-m|，
则BD=CD=
2
2
BC=
2
2
|3-m|，S1=
1
2
×（
2
2
|3-m|）2=
1
4
（3-m）2．
设直线l4的解析式是y=kx，则2k=m，解得：k=
m
2
，
则直线的解析式是y=
m
2
x．
根据题意得：
y=
m
2
x
y=x+1
，解得：
x=
2
m-2
y=
m
m-2
，
则E的坐标是（
2
m-2
，
m
m-2
）．
S△BCE=
1
2
BC•|
2
m-2
-2|=
1
2
|3-m|•|
6-2m
m-2
|=
(3-m)2
|m-2|
．
∴S2=S△BCE-S1=
(3-m)2
|m-2|
-
1
4
（3-m）2．
当S1=S2时，
(3-m)2
|m-2|
-
1
4
（3-m）2=
1
4
（3-m）2．
解得：m1=4（不合题意舍去）或m2=0，
则B的坐标是（2，0）；

（2）当S2=
3
S1时，
(3-m)2
|m-2|
-
1
4
（3-m）2=
3
4
（3-m）2．
解得：m=4+2
3
或4-2
3
．
则AB=4+2
3
或4-2
3
．
∴tan∠BOA=2+
3
或2-
3
．
∴∠BOA=75°或15°．
点评：本题考查了一次函数与三角函数，三角形的面积，正确表示出S2是关键．
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11
9
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