Question

【题目】已知：点A，B，C都在⊙O上，连接AB，AC，点D，E分别在AC，AB上，连接CE并延长交⊙O于点F，连接BD，BF，∠BDC﹣∠BFC＝2∠ABF．

（1）如图1，求证：∠ABD＝2∠ACF；

（2）如图2，CE交BD于点G，过点G作GM⊥AC于点M，若AM＝MD，求证：AE＝GD；

（3）如图3，在（2）的条件下，当AE：BE＝8：7时，连接DE，且∠ADE＝30°．延长BD交⊙O于点H，连接AH，AH＝8，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）13

【解析】

（1）注意到同弧所对的圆周角相等以及∠BDC是△ABD的外角，结合题中所告诉的角度等式进行代换变形即可得结论；

（2）连接AG，设∠CGD＝∠BGE＝β，∠ACF＝α，然后推出∠AEG＝∠AGE，再根据等角对等边即可证出结论；

（3）首先注意到特殊角∠ADE＝30°，于是作AP⊥DE于P，由HL定理可得△AEP≌△AGM，进而推出△AEG是等边三角形，设AE＝8k，BE＝7k，作GN⊥AE于N，解△BGN可得sin∠ABG的值，而∠ABG是圆周角且所对的弦为AH，于是连接AO并延长交圆O于Q，连接HQ，sin∠AQH＝sin∠ABG＝，而AH已知，从而求出直径AQ，半径也就自然知道了．

解：（1）∵∠BDC＝∠ABD+∠BAC，

∠BDC﹣∠BFC＝2∠ABF，

∴∠ABD+∠BAC﹣∠BFC＝2∠ABF，

∵∠ABF＝∠ACF，∠BFC＝∠BAC，

∴∠ABD+∠BFC﹣∠BFC＝2∠ACF，

∴∠ABD＝2∠ACF．

（2）如图2，连接AG．

设∠CGD＝∠BGE＝β，∠ACF＝α，

则∠ABD＝2α，∠AEG＝∠ABD+∠BGE＝2α+β，

∠GDA＝∠CGD+∠ACF＝α+β，

∵GM⊥AD于M且AM＝DM，

∴AG＝DG，

∴∠GAD＝∠GDA＝α+β，

∴∠AGE＝∠GAD+∠ACF＝α+β+α＝2α+β，

∴∠AGE＝∠AEG，

∴AE＝AG＝GD．

（3）如图3，连接AG，作AP⊥DE于P，

∵∠ADE＝30°，

∴∠PAD＝60°，AP＝AD，

∵GM⊥AD，

∴∠AMG＝∠APE＝90°，

∵AM＝MD，

∴AM＝AD＝AP，

由（2）可知AE＝AG，

在Rt△AEP和Rt△AGM中：

∴Rt△AEP≌Rt△AGM（HL），

∴∠EAP＝∠GAM，

∵∠GAM+∠PAG＝∠PAD＝60°，

∴∠EAP+∠PAG＝∠EAG＝60°，

∴△AEG是等边三角形，

∴EG＝AE＝AG＝DG，

∵AE：BE＝8：7，

∴设AE＝8k，BE＝7k，

作GN⊥AE于N，AN＝EN＝4k，NG＝4k，

∴BN＝BE+EN＝11k，

∴BG＝＝＝13k，

∴sin∠ABG＝＝，

连接AO并延长交圆O于Q，连接HQ，

则AQ为直径，∠AHQ＝90°，

∴sin∠AQH＝，

∵∠AQH＝∠ABG，AH＝8，

∴＝，

∴AQ＝26，

∴AO＝AQ＝13，

即⊙O的半径为13．