Question

已知：关于x的方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．
（1）当a取何值时，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0有两个不相等的实数根；
（2）当整数a取何值时，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是正整数．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据关于x的方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0有两个不相等的实数根，则△＞0，且二次项系数不为0，列出不等式组，即可求出a的取值范围．
（2）分a-1=0和a-1≠0两种情况讨论，①当a-1=0时，即a=1时，原方程变为-2x+2=0．方程的解为 x=1； ②根据方程有实数根，得出判别式≥0，再利用公式法求出方程的根，根据方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0都是正整数根，得出a的取值范围，即可得出答案．
解答：解：（1）∵方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0有两个不相等的实数根，
∴，
即，
∴a≠1且a≠3．

（2）①当a-1=0时，即a=1时，原方程变为-2x+2=0．
方程的解为 x=1；                            
②当a-1≠0时，原方程为一元二次方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．
△=b²-4ac=[-（a+1）]²-4（a-1）•2=（a-3）²≥0．
x=，解得x₁=1，x₂=．
∵方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0都是正整数根．
∴只需为正整数．
∴当a-1=1时，即a=2时，x₂=2；
当a-1=2时，即a=3时，x₂=1；   
∴a取1，2，3时，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是正整数．
点评：本题主要考查了一元二次方程的根，根的判别式和公式法解一元二次方程．解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根．