Question

如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C（a，b）和D（b，-a）（a、b均大于0）；
（1）连接OD、CD，求证：∠ODC=45°；
（2）连接CO、CB、CA，若CB=1，C0=2，CA=3，求∠OCB的度数；
（3）若a=b，在线段OA上有一点E，且AE=3，CE=5，AC=7，求△OCA的面积．

Answer 1

考点：勾股定理,坐标与图形性质,全等三角形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）过C点、D点向x轴、y轴作垂线，运用勾股定理计算，结合全等可证；
（2）连接DA，证△OCB≌△ODA（SAS），可得AD=CB=1，而OC=OD=2，故CD=2

2

，根据勾股定理逆定理可证∠ADC=90°，易得∠OCB=∠ODA=135°；
（3）作CF⊥OA，F为垂足，有CF²=CE²-EF²，CF²=CA²-AF²=CA²-（AE+EF）²，设EF=x，列出关于x的方程，求得x=

5

2

，再在Rt△CEF中，根据勾股定理求得CF=

5

2

3

，然后由三角形的面积公式即可求解．

解答：（1）证明：过C点、D点向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N．
∵C（a，b），D（b，-a）（a、b均大于0），
∴OM=ON=a，CM=DN=b，
∴△OCM≌△ODN（SAS），
∴∠COM=∠DON．
∵∠DON+∠MOD=90°，
∴∠COM+∠MOD=90°，
∵OC=OD=

a2+b2

，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠ODC=45°；

（2）解：连接DA．
在△OCB与△ODA中，

OB=OA ∠BOC=∠AOD=90°-∠COA OC=OD

，
∴△OCB≌△ODA（SAS），
∴AD=CB=1，∠OCB=∠ODA．
∵OC=OD=2，
∴CD=2

2

．
∵AD²+CD²=1+8=9，AC²=9，
∴AD²+CD²=AC²，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCB=∠ODA=90°+45°=135°；

（3）解：作CF⊥OA，F为垂足，由勾股定理得
CF²=CE²-EF²，CF²=CA²-AF²=CA²-（AE+EF）²，
设EF=x，可得5²-x²=7²-（3+x）²，
解得x=

5

2

．
在Rt△CEF中，得CF=

52-( 5 2 )2

=

5

2

3

，
∴OF=CF=

5

2

3

，
∴△OCA的面积=

1

2

•OA•CF=

1

2

×(

5

2

3

+

5

2

+3)×

5

2

3

=

75+55 3

8

．

点评：本题考查了全等三角形、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的面积，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．